Campo dei moduli e campo di definizione per insiemi finiti di punti in \(\mathbb{P}^k\)
speaker: Andrea Marinatto (Università di Udine)abstract: Sia \(K\) un campo perfetto, \(L\) una sua chiusura algebrica e sia \(Gal(L/K)\) il gruppo di Galois dell'estensione \(L/K\). Siano \( n\) e \(k\) interi positivi con \(n > k + 2\) e sia \(P_n^k\) il sottoinsieme dell'ennesimo prodotto simmetrico \((\mathbb{P}^k(L))^{(n)}\)) di \(\mathbb{P}^k(L)\) con se stesso costituito dagli insiemi di n punti in posizione generale e sia \(T\) un elemento di \(P_n^k\). \(K\) è un campo di definizione per \(T\) se esiste un automorfismo \(f\) in \(PGL_{k+1}(L)\) tale che \(T^f\), l'immagine di \(T\) rispetto a \(f\), sia definita su \(K\). D'altra parte, il campo dei moduli di \(T\) è il campo fisso del sottogruppo di \(Gal(L/K)\) costituito dagli automorfismi \(\alpha\) tali che \(T^\alpha\) è proiettivamente equivalente a \(T\). Se \(T\) è di campo di moduli \(K\), allora \(T^\alpha\) è proiettivamente equivalente a \(T\) per ogni automorfismo \(\alpha\) in \(Gal(L/K)\). \(K\) è il più piccolo campo con questa proprietà. Il campo dei moduli è contenuto in ogni campo di definizione ma non è necessariamente un campo di definizione. Nel seminario verrà esposta un'analisi completa del problema per insiemi di punti della retta proiettiva quando L è un campo di caratteristica zero con primo spazio di coomologia \(H^1(Gal(L/K)\), \(PGL_{k+1}( L))\) non banale. Si mostrerà, in particolare, che se la cardinalità dell'insieme è uguale a 4 oppure dispari, allora campo di moduli e campo di definizione coincidono, mentre se la cardinalità è pari e maggiore di 6 esistono dei controesempi. Verranno presentati anche analoghi risultati per insiemi di punti del piano proiettivo e alcuni risultati parziali per insiemi di punti in spazi proiettivi di dimensione superiore.
timetable:
Thu 24 May, 16:50 - 17:40, Aula Dini
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