Stabilizzazione in teoria di Iwasawa non abeliana
speaker: Fabio Caldarola (Dep. of Mathematics and Computer Science, Università della Calabria, Italia)abstract:
Sia \(p\) un numero primo e \(K/k\) una \(\mathbb{Z}_p\)-estensione di un campo di numeri \(k\).
In \cite{Oz} M. Ozaki studia la massima pro-\(p\) estensione non ramificata (non necessariamente abeliana) \(\widetilde{L}/K\)
di \(K\) e introduce a tal scopo i {\em moduli di Iwasawa superiori} \(X^{(i)}:=X^{(i)}(K/k),\ i\geqslant 1\) definiti per mezzo della
serie centrale inferiore ({\em lower central series}, per \(i=1\) coincide con il modulo di Iwasawa classico \(X(K/k)\) di \(K/k\)).
Considerando i diversi livelli (o {\em layers}) \(k_n\) di una \(\Z_p\)-estensione, sono ben note le propriet\`{a}
di stabilizzazione per l'ordine del modulo \(X^{(1)}_n\) (isomorfo al gruppo delle classi di \(k_n, \ n\geqslant 0\)) e per il suo \(p\)-rango.
In \cite{BC1} viene prodotto un controesempio che mostra come una diretta generalizzazione ai moduli \(X^{(i)}_n\) non sia possibile
e si ottiene il seguente teorema di stabilizzazione che utilizza ipotesi pi\`{u} forti:
\begin{teo}
Sia \(i\geq 1\) e \(n\geq n_0\). Se \(
X^{(j)}_n
=
X^{(j)}_{n+1}
\) per ogni \(1\leq j\leq i\),
allora \(X^{(j)}_n \simeq X^{(j)}_m \simeq X^{(j)}\) per ogni \(1\leq j\leq i\) e per tutti gli \,\(m\geq n\).
\end{teo}
Presenteremo risultati analoghi anche per il \(p\)-rango degli \(X^{(i)}_n\,\). Inoltre, in \cite{BC2}, si studiano
stabilizzazione e capitolazione nel contesto classico (abeliano) per moduli come i {\em capitulation kernels}
\(H_{n,m}=\Ker\{i_{n,m}:A(k_n)\longrightarrow A(k_m)\}\) (dove \(A(k_n)\) \`{e} il gruppo delle classi di \(k_n\) e
\(i_{n,m}\) \`{e} la mappa indotta dall'inclusione degli ideali) o \(H_{n}=\bigcup_{m\geqslant n}H_{n,m}\)\,;
gli \(H_{n,m}\) forniscono il primo esempio di non stabilizzazione nel contesto abeliano.
Se il tempo lo consentir\`{a}, tratteremo brevemente anche altri moduli di Iwasawa e
la loro relazione con le classiche congetture di Greenberg. }
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem1{BC1} {\sc A. Bandini e F. Caldarola}, {\em Stabilization in non-abelian Iwasawa theory}, to appear in Acta Arith. .
\bibitem2{BC2} {\sc A. Bandini e F. Caldarola}, {\em Stabilization for Iwasawa modules in \(\mathbb{Z}_p\)-extensions}, submitted.
\bibitem3{Oz} {\sc M. Ozaki}, {\em Non-abelian Iwasawa theory of \(\mathbb{Z}_p\)-extensions}, J. Reine Angew. Math. {\bf 602} (2007), 59--94.
\end{thebibliography}
timetable:
Tue 22 Sep, 17:00 - 17:25, Aula Contini
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